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domingo, 12 de junio de 2011

LAS FUNCIONES MATEMÁTICAS EN LAS HOJAS DE CÁLCULO

COLEGIO DE BACHILLERES DEL ESTADO DE JALISCO
PLANTEL 6 PIHUAMO
“MARIANO AZUELA GONZÁLEZ”

ING. SALVADOR SÁNCHEZ CUEVAS

MATEMÁTICAS IV

“LAS FUNCIONES MATEMÁTICAS EN LAS HOJAS DE CÁLCULO”

VALERIA SUSANA SOSA BARAJAS
YICEL RIOS MANRIQUEZ
MARIA ELENA BIRRUETA GÓMEZ

4to “B”

12 DE JUNIO DE 2011, PIHUAMO, JALISCO


En diversas ocasiones, las matemáticas pueden parecernos aburridas y tediosas, sin embargo, están presentes en nuestra vida diaria, de una u otra forma, en este trabajo, te hablaremos de las funciones matemáticas en las hojas de cálculo, para llevarlo a cabo, incluiremos información detallada sobre qué es una hoja de cálculo, tomando en cuenta sus elementos principales y aplicaciones. Para lo que respecta a las funciones matemáticas, también te definiremos detalladamente que es una función matemática, sus elementos principales, definiciones clave para que logres comprenderlas con mayor facilidad, clasificación de las funciones incluyendo definición y gráfica de las mismas, usos o aplicaciones y al final explicaremos la resolución de un problema teórico y otro práctico que reafirmarán tus conocimientos, todo con la finalidad de que conozcas la utilidad de las funciones matemáticas en la vida cotidiana y puedas aplicarlas auxiliándote de recursos informáticos, como lo son las hojas de cálculo.

Hoja de Cálculo y Función Matemática:
Una hoja de cálculo son programas para realizar cálculos financieros, contables, matemáticos, etc… de diversos niveles de complejidad. Proviene de los libros de contabilidad. Las hojas de cálculo están conformadas por filas y columnas que a su vez forman celdas.
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio o contradominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito).
La relación que encontramos entre Hoja de Cálculo y Función Matemática, radica en que podemos utilizar una Hoja de Cálculo para darle solución a una Función Matemática. La prestación fundamental de estas aplicaciones informáticas es que pueden elaborar enormes hojas de cálculo realizando rápidamente las tareas repetitivas y aprovechando la gran capacidad de cálculo matemático de los actuales procesadores. Así el programa vuelve a calcular automáticamente cualquier fórmula matemática de la hoja de cálculo que tenga como operando alguna celda de aquellas en las que se ha modificado su contenido numérico. También se le puede dar una gran variedad de características de formato, como tamaño, tipo de fuente, formato numérico, estilo y color; a los datos de las celdas para una mejor presentación de los mismos. Otra característica es la posibilidad de visualizar los datos numéricos de la hoja mediante distintos tipos de objetos gráficos, que permiten un análisis global y más rápido de los datos. Al igual que las fórmulas, los gráficos también se actualizan automáticamente cuando se cambia el contenido de alguna de las celdas que contienen los datos representados.

Para que aprendas a utilizar correctamente las funciones, algunos conceptos deben quedar suficientemente claros:
Relación: Es la correspondencia que existe entre los elementos de un primer conjunto (dominio) con uno o más elementos de un segundo conjunto (codominio).
Dominio: Es el conjunto de elementos a los que se les aplica la relación.
Codominio o contradominio: Es el conjunto al que son enviadas, mediante la relación, los elementos del dominio.
Rango: Es el subconjunto del codominio que contiene a todas las imágenes o valores de la relación.
Variable: En un símbolo que representa un elemento no especificado de un conjunto dado, esta puede ser Dependiente (Aquellas que dependen del valor que asuman otros fenómenos o variables), Independientes (Cuyos cambios en los valores determinan cambios en los valores de otra), Cualitativas (Expresan distintas cualidades, características o modalidades, y Cuantitativas (Se enuncian mediante cantidades numéricas).
Constante: Es un valor de tipo permanente, que no puede modificarse, al menos no dentro del contexto o situación para el cual está previsto.
Gráfico: Es la representación de datos, generalmente numéricos, mediante líneas, superficies o símbolos, para ver la relación que esos datos guardan entre sí y facilitar su interpretación. Un gráfico también puede ser un conjunto de puntos, que se plasman en coordenadas cartesianas, y sirven para analizar el comportamiento de un proceso, o un conjunto de elementos.

LAS FUNCIONES SE CLASIFICAN DE LA SIGUIENTE MANERA:













FUNCIONES ALGEBRAICAS:
Son aquellas funciones que están compuestas por términos algebraicos mediante operaciones como la suma, resta, multiplicación, división, potenciación y extracción de raíces.
Las funciones algebraicas pueden ser:
Funciones explícitas
En las funciones explícitas se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
f(x) = 5x - 2
Funciones implícitas
En las funciones implícitas no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar operaciones.
5x - y - 2 = 0

Funciones polinomiales.

Estas funciones tienen como forma general la siguiente:

Donde son constantes y n es un número no negativo.
El grado de un polinomio está dado por el mayor exponente de la variable en el polinomio, independientemente del orden en el que estén los términos, como se muestra a continuación:


Las gráficas de cada una de ellas son:


Ejemplo:






Funciones Irracionales.
Son las funciones que se identifican por poseer raíces que involucran a la variable, este tipo de funciones no se pueden expresar como funciones racionales.


Ejemplo:



Funciones Racionales:

Ejemplo:




FUNCIONES TRASCENDENTES:
Son aquellas cuya regla de correspondencia no es algebraica, como las funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

Funciones Exponenciales:
Son las funciones cuya variable se ubica en el exponente, su forma es:



Funciones Logarítmicas:
Estas son las funciones inversas a las funciones exponenciales. El logaritmo base “b” es el inverso de la ecuación exponencial de base “b”.

Lo cual permite ir de la expresión exponencial a la logarítmica y viceversa.
Ejemplo:


Funciones Senoidales:

Son las funciones que están formadas por las razones trigonométricas seno o coseno. Las expresadas en su forma estándar son:

Los valores que se sustituyen de “x” son los números reales, y para construir la gráfica de las funciones mediante tablas de valores, se sustituirán múltiplos y submúltiplos de π, debido a que son los que determinan los cambios importantes en el comportamiento de las funciones senoidales, como se mostró en la definición geométrica de las mismas.

Ejemplo:


Función Matemática:
Definición: Una función es una relación entre dos variables, de forma que a cada valor de la variable independiente , le asocia un único valor de la variable dependiente , que llamaremos imagen de . Decimos que y es función de y lo representamos por

Elementos Importantes:
Los dos principales elementos de una función son los posibles valores que pueden tomar ambas variables (dependiente e independiente).
Se llama Dominio de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable independiente. El dominio de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: D(f), Dom(f).
Se llama Recorrido, Rango o Imagen de una función al conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente, es decir, es el conjunto de valores que puede alcanzar la función. El recorrido de una función del tipo y=f(x) suele representarse con alguna de estas expresiones: R(f), Rango(f), Im(f).

Hoja de Cálculo:
Definición: Una hoja de cálculo es un programa que permite manipular datos numéricos y alfanuméricos dispuestos en forma de tablas compuestas por celdas (las cuales se suelen organizar en una matriz bidimensional de filas y columnas).
Elementos Importantes:
Fórmula: Una fórmula permite hacer cálculos y analizar datos en la hoja de trabajo. La fórmula puede contener uno o más operadores, los operadores especifican el tipo de cálculo que se quiere realizar.
Función: Una función es una fórmula lista para usar que puede utilizar para realizar un cálculo con la información de su hoja de cálculo. Las hay de dos maneras: con operadores aritméticos y los de comparación.
Celda: Es el área donde una fila y una columna se intersectan.
Columna: Es una línea vertical de celdas. Una letra identifica cada celda.
Fila: Una línea horizontal de celda. Un número identifica cada fila.

Aplicaciones de la vida cotidiana donde se obtienen o se usan las funciones matemáticas:
Generalmente se hace uso de las funciones reales, (aun cuando el ser humano no se da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los números reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en pesos para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y".

Función Afín
Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de la oferta y la demanda) los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. Por ejemplo, si un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el artículo esté disponible. Una relación que especifique la cantidad de un artículo determinado que los consumidores estén dispuestos a comprar, a varios niveles de precios, se denomina ley de demanda. La ley más simple es una relación del tipo P= mx + b, donde P es el precio por unidad del artículo y m y b son constantes.

Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la medicina. Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertos fenómenos. Un ejemplo es el resultado del experimento psicológico de Stenberg, sobre recuperación de información.
Esta dada por la formula y=mx+b donde m y b son números reales llamados pendiente y ordenada al origen respectivamente. Su gráfica es una recta.

Dada la ecuación y=mx+b:
Si m=0, entonces y=b. Es decir, se obtiene la función constante, cuya gráfica es una recta paralela al eje x que pasa por el punto (0,b).
Si b=0, entonces y=mx. Esta ecuación tiene por gráfica una recta que pasa por el origen de coordenadas (0,0).

Función Cuadrática
El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en matemática sino también en física y en otras áreas del conocimiento como por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial.

Puede ser aplicada en la ingeniería civil, para resolver problemas específicos tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en la construcción de puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno de los cables amarrados a dos torres.
Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectos nutricionales de los organismos.
Existen fenómenos físicos que el hombre a través de la historia ha tratado de explicarse. Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta principal para realizar sus cálculos la ecuación cuadrática. Como ejemplo palpable, podemos mencionar que la altura S de una partícula lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo está dada por S= V0t - ½ gt2, donde S es la altura, V0 es la velocidad inicial de la partícula, g es la constante de gravedad y t es el tiempo.
La función cuadrática responde a la fórmula: y= a x2 + b x + c con a =/ 0. Su gráfica es una curva llamada parábola cuyas características son:
Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es convexa y admite un máximo.
Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o el mínimo.
Eje de simetría: x = xv.
Intersección con el eje y.
Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo grado.

Función Logarítmica
La geología como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones logarítmicas para el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso de un sismo. La magnitud R de un terremoto está definida como R= Log (A/A0) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y A0 es una constante. (A es la amplitud de un sismógrafo estándar, que está a 100 kilómetros del epicentro del terremoto).

Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o planeta utilizan ciertos cálculos de carácter logarítmico. La ecuación logarítmica les permite determinar la brillantez y la magnitud.
En la física la función logarítmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales se puede mencionar el cálculo del volumen "L" en decibeles de un sólido, para el cual se emplea la siguiente ecuación L= 10 . Log (I/I0) , donde I es la intensidad del sonido (la energía cayendo en una unidad de área por segundo), I0 es la intensidad de sonido más baja que el oído humano puede oír (llamado umbral auditivo). Una conversación en voz alta tiene un ruido de fondo de 65 decibeles.
El logaritmo en base b de un número a es igual a N, si la base b elevada a N da como resultado a.
Logb a = N si bN = a
Notación logarítmica
Notación exponencial

Función Senoidal:
En la vida diaria se pueden observar acontecimientos que se repiten siguiendo un patrón predecible, como, el hecho de que en regiones de clima templados, el consumo de energía eléctrica se eleva en verano y desciende en invierno; el número de turistas que visitan las playas de México aumentan en periodos vacacionales y disminuyen el resto del año; el precio de la venta de frutas en temporadas de verano disminuye y aumentan en invierno.


RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE FUNCIONES MATEMÁTICAS:
1.- TEORICO:
Graficar la función P(x)=x^2+4x+1
Se utiliza una tabla de valores para determinar la gráfica de la Función:
X P(x)=x^2+4x+1
-4 P(x)=(〖-4)〗^( 2)+4(-4)+1=1
-3 P(x)=(〖-3)〗^( 2)+4(-3)+1=-2
-2 P(x)=(〖-2)〗^( 2)+4(-2)+1=-3
-1 P(x)=(〖-1)〗^( 2)+4(-1)+1=-2
0 P(x)=(〖0)〗^( 2)+4(0)+1=1
1 P(x)=(〖1)〗^( 2)+4(1)+1=6

La gráfica de la función queda de la siguiente manera:

Dominio = , 
Rango = [-3, 
2.- PRACTICO:
El costo variable de producir kilos de piloncillo en un trapiche es de $4.00 pesos por kilo, los costos fijos por día son de $133.00 pesos.
Escribe la formula total y construye su gráfica.
¿Cuál es el costo de producir 1000 kilos de piloncillo en un día?
Si el costo de producir piloncillo en un día es de $5,000.00 pesos, ¿Cuántos kilos de piloncillo fueron producidos?

SOLUCIÓN:
El problema anterior está representado por una función lineal, esta se representa de la forma f(x)=mx+b, por lo tanto, para resolverlo, necesitamos sustituir valores.
Tomando en cuenta que “b” es el término independiente, “m” el coeficiente variable y “x” la variable independiente, nuestra función queda de la siguiente forma:
C=f(k)=4k+133
En base a la formula total, creamos una tabla de valores y la gráfica queda de la siguiente manera:



Para encontrar el costo, sustituimos valores nuevamente, quedando la función de la siguiente manera:
C=4(1000)+133
Ahora solo resta realizar las operaciones indicadas y tendremos como resultado el costo.
C=4000+133
C=4133

Para encontrar la cantidad de kilos de piloncillo producidos, sustituimos valores y despejamos “k”:
5000=4k+133
5000-133=4k
4865=4k
4865/4=k
k=1216.25



FUENTES CONSULTADAS:
http://maralboran.org/wikipedia/index.php/Funciones:_Definici%C3%B3n
http://recursostic.educacion.es/descartes/web/materiales_didacticos/Funciones_formas_de_expresar/elementos.htm
http://es.answers.yahoo.com/question/index?qid=20080210145655AAHGSB4
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/18/matematicas-18.html
http://es.wikipedia.org/wiki/Hoja_de_c%C3%A1lculo
http://www.foroswebgratis.com/tema-cu%C3%A0les_son_los_principales_elementos_de_excel-86650-694166.htm
VALENZUELA Chávez, Alma Lorenia, Matemáticas 4, Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora, México, 2010

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